5437. Найдите наименьшее значение выражения \sqrt{1+x^{2}-x}+\sqrt{1+x^{2}-x\sqrt{3}}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Указание. На сторонах прямого угла с вершиной A
отложим отрезки AB=AC=1
, а на луче AD
, проходящем между сторонами угла, — отрезок AD=x
. Далее примените теорему косинусов.
Решение. Заметим, что при x\leqslant0
каждое из выражений, стоящих под знаками корня, положительно и убывает с увеличением x
, значит, минимальное выражение всей суммы достигается при положительном x
.
На сторонах прямого угла с вершиной A
отложим отрезки AB=AC=1
, а на луче AD
, проходящем между сторонами угла, — отрезок AD=x
. Тогда по теореме косинусов BD=\sqrt{1+x^{2}-x}
и CD=\sqrt{1+x^{2}-x\sqrt{3}}
. При этом DB+CD\geqslant BC
, или
\sqrt{1+x^{2}-x}+\sqrt{1+x^{2}-x\sqrt{3}}\geqslant\sqrt{2},
причём равенство достигается в случае, когда точка D
лежит на отрезке BC
. Докажем, что тогда x=\sqrt{3}-1
.
Действительно, пусть D_{0}
— точка на BC
для которой достигается наименьшее значение данного выражения, AD_{0}=x_{0}
. По теореме синусов из треугольников ABD_{0}
и ACD_{0}
находим, что
BD_{0}=\frac{x_{0}\sin60^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\frac{x_{0}\sqrt{3}}{\sqrt{2}},~CD_{0}=\frac{x_{0}\sin30^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}.
При этом BD_{0}+CD_{0}=BC
, или
\frac{x_{0}\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Отсюда находим, что x_{0}=\sqrt{3}-1
. Что и требовалось доказать.