5438. Найдите наименьшее значение выражения x^{2}+y^{2}
, если 3x+4y=12
.
Ответ. \frac{144}{25}
.
Указание. x^{2}+y^{2}
— это квадрат расстояния от точки M(x;y)
, лежащей на прямой 3x+4y=12
, до начала координат.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
. Точка M(x;y)
лежит на прямой 3x+4y=12
, или \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1
. Эта прямая пересекает оси координат в точках (4;0)
и (0;3)
, а x^{2}+y^{2}
— это квадрат расстояния от точки M
до начала координат. Это расстояние наименьшее в случае, когда M
— основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Следовательно, наименьшее значение выражения x^{2}+y^{2}
равно квадрату высоты прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, опущенной на гипотенузу, т. е. \left(\frac{12}{5}\right)^{2}
.