5443. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 2. Найдите сумму радиусов вписанной и описанной окружности.
Ответ. 1.
Указание. Примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки (см. задачу 1723).
Решение. Пусть BC=a
и AC=b
— катеты прямоугольного треугольника ABC
, a+b=2
, O
— центр вписанной окружности радиуса r
; M
, N
и K
— точки её касания со сторонами BC
, AB
и AC
соответственно, R
— радиус описанной окружности. Тогда CKON
— квадрат,
BM=BN=BC-CN=BN-OK=a-r.
Аналогично AM=b-r
. Значит,
2R=AB=BM+AM=a-r+b-r=a+b-2r=2-2r,
откуда 2R+2r=2
. Следовательно, R+r=1
.
Примечание. Из приведённого решения следует, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна среднему арифметическому катетов.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2011-2012