5446. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. На отрезке AC
взята такая точка M
, что AM=MC
, \angle BMC=\angle CMD=\angle BAD
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
можно вписать в окружность.
Указание. Треугольники AMB
и DMA
подобны, а треугольники BMC
и CMD
подобны треугольнику BAD
Решение. Обозначим
\angle BMC=\angle CMD=\angle BAD=\alpha,~\angle BAC=\beta.
Тогда
\angle MAD=\angle BAD-\angle BAM=\alpha-\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABM=\angle BMC-\angle BAC=\alpha-\beta,~
а так как \angle AMB=\angle AMD=180^{\circ}-\alpha
, то треугольники AMB
и DMA
подобны по двум углам. Значит, \frac{AM}{MB}=\frac{DM}{AM}
, а так как AM=CM
, то \frac{CM}{MB}=\frac{DM}{MC}
. Тогда треугольник BMC
подобен треугольнику CMD
по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle MBC=\angle MCD,~\angle MCB=\angle MDC.
Тогда
\angle BCD=\angle BCM+\angle MCD=\angle BCM+\angle MBC=
=180^{\circ}-\angle BMC=180^{\circ}-\alpha.
Сумма противоположных углов при вершинах A
и C
четырёхугольника ABCD
равна 180^{\circ}
, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность.