5452. Данный треугольник разделите на две равновеликие части прямой, параллельной одной из его сторон.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
со стороной BC=a
. Предположим, задача решена: прямая MN
параллельна прямой BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках M
и N
соответственно и разбивает треугольник ABC
на две равновеликие части.
Обозначим MN=a
, MN=x
. Треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
с некоторым коэффициентом k
, и \frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{2}
. Тогда \frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=k^{2}
, поэтому k=\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим отрезок x=\frac{a\sqrt{2}}{2}
(например, x
— половина диагонали квадрата со стороной a
), через произвольную точку P
стороны AB
проводим прямую, параллельную BC
и пересекающую сторону AC
в некоторой точке Q
. На луче PQ
откладываем отрезок PX=x
и через точку X
проводим прямую, параллельную AB
. Эта прямая пересекает сторону AC
в искомой точке N
, а прямая, проведённая через точку N
параллельно BC
, пересекает сторону AB
в искомой точке M
.
Действительно, четырёхугольник PXMN
— параллелограмм, поэтому MN=PX=\frac{a\sqrt{2}}{2}
, MN\parallel PX\parallel AC
и
\frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{MN}{BC}\right)^{2}=\left(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Для каждой стороны треугольника задача имеет единственное решение.