5457. Прямые, проходящие через точку P
, лежащую вне окружности, касаются окружности в точках A
и B
. Через точку P
проведена прямая l
, параллельная касательной к окружности, проведённой в её точке M
. Прямые MA
и MB
пересекают прямую l
в точках X
и Y
. Докажите, что P
— середина отрезка XY
, и длина отрезка XY
не зависит от положения точки M
на окружности.
Указание. Примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть касательная к окружности, проведённая в точке M
, пересекает прямые PA
и PB
в точках C
и D
соответственно. Треугольник ACM
равнобедренный, так как CA=CM
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Тогда треугольник APX
также равнобедренный, так как
\angle PAX=\angle CAM=\angle CMA=\angle PXA.
Значит, PX=AP
. Аналогично PY=PB
, а так как PA=PB
, то PX=PY
, т. е. P
— середина XY
. Кроме того, XY=PX+PY=PA+PB
, каково бы ни было положение точки M
на окружности. Что и требовалось доказать.
Аналогично для всех других случаев.