5459. Пусть I_{A}
и I_{B}
— центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC
и CA
треугольника ABC
соответственно, а P
— точка на окружности \Sigma
, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников I_{A}CP
и I_{B}CP
, совпадает с центром окружности \Sigma
.
Решение. Пусть M
— середина отрезка I_{A}I_{B}
. Поскольку биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны, из точек A
и B
отрезок I_{A}I_{B}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром I_{A}I_{B}
и с центром M
. Вписанный в эту окружность угол AI_{A}B
вдвое меньше центрального угла AMB
, т. е. \angle AI_{A}B=\frac{1}{2}\angle AMB
.
Пусть N
— точка касания прямой AB
и окружности с центром I_{A}
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AI_{A}B=\angle I_{A}BN-\angle BAI_{A}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)-\angle BAI_{A}=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC-\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\angle ACB,
поэтому \angle AMB=\angle ACB
, и точки A
, B
, C
и M
лежат на одной окружности \Sigma
. Поскольку AM=BM
, точка M
является серединой дуги ACB
этой окружности.
Пусть I_{A}'
, I_{B}'
, M'
— середины отрезков CI_{A}
, CI_{B}
, CM
соответственно, O_{A}
, O_{B}
, O
— центры описанных окружностей треугольников I_{A}CP
, I_{B}CP
, ABC
. Тогда точки I_{A'}
, I_{B'}
, M'
являются проекциями соответственно точек O_{A}
, O_{B}
, O
на прямую I_{A}I_{B}
(диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам).
Точки O_{A}
, O_{B}
, O
лежат на серединном перпендикуляре l
к отрезку CP
(линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна общей хорде и делит её пополам). Поэтому для решения задачи достаточно доказать, что M'
является серединой отрезка I_{A}'I_{B}'
. Но это верно, поскольку M
— середина I_{A}I_{B}
, а тройка точек I_{A}'
, I_{B}'
, M'
получается из тройки I_{A}
, I_{B}
, M
при гомотетии с центром C
и коэффициентом \frac{1}{2}
.