5463. Прямая, параллельная стороне AB
треугольника ABC
, пересекает стороны AC
и BC
в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Через вершину C
проведена произвольная прямая, пересекающая сторону AB
в точке D
. Докажите, что площадь четырёхугольника CA_{1}DB_{1}
есть среднее геометрическое площадей треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C
.
Указание. Проведите высоту CH
треугольника ABC
.
Решение. Обозначим через S
и s
площади треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C
, а через S_{1}
— площадь четырёхугольника CA_{1}DB_{1}
. Пусть CH
— высота треугольника ABC
, а коэффициент подобия треугольников A_{1}B_{1}C
и ABC
равен k
. Тогда k=\sqrt{\frac{s}{S}}
,
S_{1}=S_{CA_{1}DB_{1}}=S_{\triangle A_{1}B_{1}C}+S_{\triangle A_{1}B_{1}D}=S_{\triangle A_{1}B_{1}C}+S_{\triangle A_{1}B_{1}H}=
=S_{CA_{1}HB_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}\cdot CH=\frac{1}{2}kAB\cdot CH=k\cdot\frac{1}{2}AB\cdot CH=
=kS=\sqrt{\frac{s}{S}}\cdot S=\sqrt{Ss}.
Что и требовалось доказать.