5470. В окружность вписан четырёхугольник ABCD
, диагонали которого пересекаются в точке M
. Докажите, что точка M
является серединой диагонали BD
тогда и только тогда, когда AB:AD=CB:CD
.
Указание. Проведите высоты BP
и DQ
треугольников ABC
и ADC
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, \angle ADC=180^{\circ}-\alpha
.
Пусть BP
и DQ
— высоты треугольников ABC
и ADC
. Если M
— середина BD
, то прямоугольные треугольники BPM
и DQM
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому BP=DQ
. Значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BP=\frac{1}{2}AC\cdot DQ=S_{\triangle ADC},
а так как
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CB\sin\alpha,
S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot CD\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}AD\cdot CD\sin\alpha,
то AB\cdot CB\sin\alpha=AD\cdot CD\sin\alpha
. Поэтому AB\cdot CB=AD\cdot CD
. Следовательно, \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{CD}
.
Пусть теперь известно, что \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{CD}
. Тогда S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}
, а так как у треугольников ABC
и ADC
общее основание AC
, то равны опущенные на него высоты BP
и DQ
. Значит, прямоугольные треугольники BPM
и DQM
равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, BM=DM
, т. е. M
— середина BD
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 77, с. 145