5474. В данный треугольник ABC
впишите параллелограмм ADEF
так, чтобы точки D
, E
, F
лежали на сторонах соответственно AB
, BC
, AC
и чтобы диагональ DF
имела наименьшую длину.
Указание. См. задачу 5473.
Решение. Пусть в треугольник ABC
вписан параллелограмм AXYZ
, причём точки X
, Y
и Z
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
и AC
, а T
— точка пересечения прямой CX
с медианой AM
треугольника ABC
или с её продолжением. Тогда CTXZ
— параллелограмм (см. задачу 5473), значит, XZ=CT
. Отрезок CT
минимален, если CT\perp AM
, т. е. когда точка T
совпадает с основанием K
перпендикуляра, опущенного из вершины C
на прямую AM
.
Отсюда вытекает следующее построение. Из вершины C
опускаем перпендикуляр CK
на прямую AM
. Через точку K
проводим прямую, параллельную AC
. Пусть эта прямая пересекает стороны AB
и BC
в точках D
и E
соответственно. Через точку E
проводим прямую, параллельную AB
. Пусть она пересекает сторону AC
в точке F
. Тогда ADEF
— искомый параллелограмм. Действительно, так как CKDF
— параллелограмм (см. задачу 5473), то BF=CK
. Для любого другого параллелограмма AXYZ
, вписанного в треугольник ABC
указанным в условии способом, диагональ XZ
больше DF
.