5481. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, боковые стороны образуют угол 45^{\circ}
. Основания равны 1 и 4. Найдите высоту трапеции.
Ответ. \frac{4}{3}
.
Указание. Суммы квадратов противоположных сторон четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равны между собой.
Решение. Пусть AD=4
, BC=1
— основания трапеции ABCD
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке F
. Тогда
DF=4-1=3,~\angle DCF=45^{\circ}.
Обозначим AB=CF=x
, CD=y
. Пусть h
— высота трапеции. Тогда
h=\frac{2S_{\triangle DCF}}{DF}=\frac{xy\sin45^{\circ}}{3}=\frac{xy\sqrt{2}}{6}.
Поскольку суммы квадратов противоположных сторон четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равны между собой (см. задачу 1344), то
x^{2}+y^{2}=1^{2}+4^{2}=17.
По теореме косинусов из треугольника DCF
находим, что
9=DF^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos45^{\circ}=17-xy\sqrt{2},
откуда xy\sqrt{2}=8
. Следовательно,
h=\frac{xy\sqrt{2}}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.