5483. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Лучи AB
и DC
пересекаются в точке K
. Оказалось, что точки B
, D
, а также середины отрезков AC
и KC
лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC
?
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Отрезок MN
— средняя линия треугольника AKC
, поэтому MN\parallel AB
. Значит, \angle CMN=\angle CAK
. Вписанные углы BAC
и BDC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle BDC=\angle BAC
.
Пусть точки M
и N
лежат по разные стороны от прямой BD
. Тогда вписанные во вторую окружность углы BMN
и BDN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BMN=\angle BDN=\angle BDC=\angle BAC=\angle BAM,
а так как MN\parallel AB
, то \angle BMN=\angle ABM
. Значит, \angle ABM=\angle BAM
. Тогда треугольник AMB
равнобедренный, BM=AM=\frac{1}{2}AC
.
Медиана BM
треугольника ABC
равна половине стороны AC
, значит, \angle ABC=90^{\circ}
, и AC
— диаметр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
. Следовательно, \angle ADC=90^{\circ}
.
Предположим теперь, что точки M
и N
лежат по одну сторону от прямой BD
. Тогда точка M
лежит внутри треугольника BCD
, а значит, внутри треугольника BND
, что невозможно, так как тогда она не может лежать на окружности, проходящей через точки B
, M
, D
и N
.
Автор: Жуков Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, региональный этап, 11 класс