5484. Пусть A_{1}M_{1}
и AM
— медианы подобных треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
. Докажите, что \angle A_{1}M_{1}B_{1}=\angle AMB
.
Решение. Пусть коэффициент подобия треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
равен k
. Тогда
\frac{B_{1}M_{1}}{BM}=\frac{\frac{1}{2}B_{1}C_{1}}{\frac{1}{2}BC}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=k=\frac{A_{1}B_{1}}{AB},
\angle A_{1}B_{1}M_{1}=\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle ABC=\angle ABM.
Значит, треугольник A_{1}B_{1}M_{1}
подобен треугольнику ABM
по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle A_{1}M_{1}B_{1}=\angle AMB
.
Примечание. 1. Вместо точек M_{1}
и M
можно взять любые точки прямых A_{1}B_{1}
и AB
, соответствующие друг другу при подобии треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
.
2. См. статью Д.Швецова «Подобие с медианами», Квант, 2021, N7, с.42-47.