5495. В равнобедренном треугольнике
ABC
основание
AC
равно 1, угол
ABC
равен
2\arctg\frac{1}{3}
. Точка
D
лежит на стороне
BC
так, что площадь треугольника
ABC
втрое больше площади треугольника
ADC
. Найдите расстояние от точки
D
до прямой
AB
и радиус окружности, описанной около треугольника
ADC
.
Ответ.
\frac{\sqrt{10}}{5}
,
\frac{\sqrt{85}}{18}
.
Решение. Пусть
BH
— высота треугольника
ABC
. Обозначим
\angle ABC=\beta
. Тогда
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{1}{3},~\cos\frac{\beta}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\frac{\beta}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{10}},~\sin\frac{\beta}{2}=\frac{1}{\sqrt{10}}.

Из прямоугольного треугольника
ABH
находим, что
BH=AH\ctg\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2},~AB=\frac{AH}{\sin\frac{\beta}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}.

Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4},~S_{\triangle ABD}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}.

Пусть
DK
— перпендикуляр, опущенный из точки
D
на прямую
AB
. Тогда
DK
— высота треугольника
ABD
, поэтому
DK=\frac{2S_{\triangle ABD}}{AB}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.

Поскольку
\frac{CD}{BC}=\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{3}
, то
CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{6}.

По теореме косинусов
AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}-2AC\cdot CD\cos\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)}=

=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{10}}{6}\right)^{2}-2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{10}}{6}\sin\frac{\beta}{2}}=\sqrt{1+\frac{5}{18}-\frac{\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{34}}{6}.

Пусть
R
— радиус окружности, описанной около треугольника
ADC
. По теореме синусов
R=\frac{AD}{2\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{AD}{2\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{34}}{6}}{2\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{85}}{18}.

Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2010, билет 2
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.230, с. 99
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2010, билет И, задача 1