5496. В равнобедренном треугольнике ABC
основание AC
равно 1, угол ABC
равен 2\arctg\frac{1}{3}
. Точка D
лежит на стороне BC
так, что площадь треугольника ABC
вчетверо больше площади треугольника ADC
. Найдите расстояние от точки D
до прямой AB
и радиус окружности, описанной около треугольника ADC
.
Ответ. \frac{9\sqrt{10}}{40}
, \frac{\sqrt{145}}{24}
.
Решение. Пусть BH
— высота треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{1}{3},~\cos\frac{\beta}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\frac{\beta}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{10}},~\sin\frac{\beta}{2}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
BH=AH\ctg\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2},~AB=\frac{AH}{\sin\frac{\beta}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}.
Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4},~S_{\triangle ABD}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{9}{16}.
Пусть DK
— перпендикуляр, опущенный из точки D
на прямую AB
. Тогда DK
— высота треугольника ABD
, поэтому
DK=\frac{2S_{\triangle ABD}}{AB}=\frac{2\cdot\frac{9}{16}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{9}{4\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}{40}.
Поскольку \frac{CD}{BC}=\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}
, то
CD=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{8}.
По теореме косинусов
AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}-2AC\cdot CD\cos\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)}=
=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{10}}{8}\right)^{2}-2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{10}}{8}\sin\frac{\beta}{2}}=\sqrt{1+\frac{5}{32}-\frac{\sqrt{10}}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{29}}{4\sqrt{2}}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ADC
. По теореме синусов
R=\frac{AD}{2\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{AD}{2\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{29}}{4\sqrt{2}}}{2\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{145}}{24}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2010, билет 3
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.230, с. 99
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2010, билет Ф, задача 1