5501. Две окружности радиуса R
касаются в точке K
. На одной из них взята точка A
, а на другой — точка B
, причём \angle AKB=90^{\circ}
. Докажите, что AB=2R
.
Указание. Рассмотрите параллельный перенос на вектор \overrightarrow{O_{1}O_{2}}
, где O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры первой и второй окружностей. Обозначим \angle AO_{1}K=\alpha
. Из равнобедренного треугольника AO_{1}K
находим, что
\angle AKO_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Поэтому
\angle BKO_{2}=180^{\circ}-90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\alpha}{2}~\Rightarrow~\angle KO_{2}B=180^{\circ}-\alpha.
Следовательно, прямые O_{1}A
и O_{2}B
параллельны.
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{O_{1}O_{2}}
первая окружность перейдёт во вторую, а точка A
перейдёт в точку B
. Следовательно, AB=O_{1}O_{2}=2R
.