5502. Две окружности радиуса R
пересекаются в точках M
и N
. Пусть A
и B
— точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN
с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN
. Докажите, что MN^{2}+AB^{2}=4R^{2}
.
Указание. Рассмотрите параллельный перенос на вектор \overrightarrow{O_{1}O_{2}}
, где O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей S_{1}
и S_{2}
, точка A
лежит на окружности S_{1}
, B
— на окружности S_{2}
, A
— между B
и O_{1}
.
Через точку M
проведём прямую, параллельную O_{1}O_{2}
. Пусть D
— её точка пересечения с окружностью S_{1}
. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{O_{1}O_{2}}
окружность S_{1}
перейдёт в окружность S_{2}
, точка D
— в точку M
, точка A
— в точку B
. Поэтому отрезок DM
равен и параллелен отрезку AB
, а \angle DMN=90^{\circ}
. Тогда, DN
— диаметр окружности. Следовательно,
4R^{2}=DN^{2}=DM^{2}+MN^{2}=AB^{2}+MN^{2}.