5503. Внутри прямоугольника ABCD
взята точка M
. Докажите, что существует выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB
и BC
, стороны которого равны AM
, BM
, CM
, DM
.
Указание. Рассмотрите образы отрезков AM
и DM
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
.
Решение. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
точка M
перейдёт в некоторую точку M_{1}
. При этом отрезок AM
перейдёт в отрезок BM_{1}
, а отрезок DM
— в отрезок CM_{1}
. Поэтому BM_{1}=AM
, CM_{1}=DM
и MM_{1}\perp BC
. Следовательно, четырёхугольник MBM_{1}C
— искомый.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 4, с. 39
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4, с. 345
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.58, с. 172