5503. Внутри прямоугольника ABCD
взята точка M
. Докажите, что существует выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB
и BC
, стороны которого равны AM
, BM
, CM
, DM
.
Указание. Рассмотрите образы отрезков AM
и DM
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
.
Решение. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
точка M
перейдёт в некоторую точку M_{1}
. При этом отрезок AM
перейдёт в отрезок BM_{1}
, а отрезок DM
— в отрезок CM_{1}
. Поэтому BM_{1}=AM
, CM_{1}=DM
и MM_{1}\perp BC
. Следовательно, четырёхугольник MBM_{1}C
— искомый.