5504. В каком месте следует построить мост MN
через реку, разделяющую две данные деревни A
и B
, чтобы путь AMNB
из деревни A
в деревню B
был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке.)
Указание. Рассмотрите образы точек A
и M
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{MN}
и воспользуйтесь неравенством треугольника.
Решение. Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{MN}
точка A
перейдёт в некоторую точку A_{1}
, а точка M
— в точку N
. Тогда
AM+MN+NB=AA_{1}+A_{1}N+NB\geqslant AA_{1}+A_{1}B
(неравенство треугольника), причём равенство достигается, если точки A_{1}
, N
и B
лежат на одной прямой, т. е. BN\parallel AM
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Отложим от точки A
отрезок AA_{1}
, по величине равный ширине реки и перпендикулярный к её направлению, соединим точку A_{1}
с точкой B
. Точка N
, полученная при пересечении A_{1}B
с более близким к B
берегом реки, определит положение моста.