5509. С помощью циркуля и линейки параллельно данной прямой проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды равной длины.
Указание. Примените параллельный перенос.
Решение. Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть AB=CD
— хорды данных окружностей S_{1}
и S_{2}
, параллельные данной прямой l
, Q_{1}
и Q_{2}
— проекции центров O_{1}
и O_{2}
этих окружностей на прямую l
. Тогда при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{Q_{1}Q_{2}}
отрезок AB
перейдёт в отрезок CD
, а окружность S_{1}
— в окружность S
, имеющую общую хорду CD
с окружностью S_{2}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Опустим перпендикуляры из центров данных окружностей S_{1}
и S_{2}
на данную прямую l
. Пусть Q_{1}
и Q_{2}
— основания этих перпендикуляров. Если при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{Q_{1}Q_{2}}
образ S
окружности S_{1}
пересекает окружность S_{2}
в двух точках C
и D
, то CD
— искомая прямая.