5510. С помощью циркуля и линейки параллельно данной прямой проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a
.
Указание. Рассмотрите параллельный перенос одной из окружностей вдоль данной прямой на расстояние \frac{a}{2}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда окружности расположены одна вне другой, и сумма указанных хорд имеет заданную величину a
.
Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть AB
и CD
— хорды данных окружностей S_{1}
и S_{2}
, параллельные данной прямой l
, и AB+CD=a
(A
, B
, C
и D
— последовательные точки проведённой прямой).
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BC}
окружность S_{1}
переходит в равную ей окружность S
. Пусть Q_{1}
, Q_{2}
и Q
— проекции центров окружностей соответственно S_{1}
, S_{2}
и S
на проведённую прямую. Тогда Q_{1}
, Q_{2}
и Q
— середины соответствующих хорд. Поэтому
QQ_{2}=QC+CQ_{2}=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Совершим параллельный перенос одной из окружностей вдоль данной прямой на расстояние, равное d-\frac{a}{2}
, где d
— расстояние между проекциями центров данных окружностей на данную прямую. Если образ S
окружности S_{1}
при этом переносе пересекает окружность S_{2}
в точке C
, то прямая, проходящая через точку C
параллельно прямой l
, — искомая.
Аналогичное решение для разности хорд.