5512. С помощью циркуля и линейки постройте четырёхугольник ABCD
по четырём углам и сторонам AB=a
и CD=b
.
Указание. Рассмотрите треугольник DB_{1}C
, где B_{1}
— образ вершины B
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AD}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда в четырёхугольнике нет параллельных сторон. Пусть пересекаются лучи BA
и CD
. Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD
построен. Пусть B_{1}
— образ вершины B
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AD}
. Тогда DB_{1}=AB
. Поэтому в треугольнике DB_{1}C
известны две стороны (DB_{1}=a
, DC=b
) и угол между ними:
\angle B_{1}DC=\angle ADC-\angle ADB_{1}=\angle ADC-(180^{\circ}-\angle DAB).
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник DB_{1}C
. Затем в полуплоскости, содержащей точку B_{1}
, откладываем от лучей DC
и CD
углы CDX
и DCY
, соответственно равные данным углам D
и C
. Через точку B_{1}
проводим прямую, параллельную прямой DX
. Эта прямая пересекает прямую CY
в искомой вершине B
, а прямая, проходящая через точку B
, параллельно DB_{1}
, пересекает прямую DX
в искомой вершине A
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 15.10, с. 40
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 15.12, с. 346