5513. С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.
Указание. Примените параллельный перенос и теорему о касательной и секущей.
Решение. Рассмотрим случай, когда окружности расположены одна вне другой, а данная точка лежит вне обеих окружностей. Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть M
— данная точка, S_{1}
и S_{2}
— данные окружности, O_{1}
и O_{2}
— их центры, AB
и CD
— равные хорды (точки A
, B
, C
, D
расположены на прямой в указанном порядке).
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{CA}
окружность S_{2}
перейдёт в окружность S
с центром O
. Прямая O_{1}O
перпендикулярна общей хорде AB
окружностей S
и S_{1}
. Проведём из данной точки M
касательные MP
и MQ
к окружностям S_{1}
и S
соответственно (P
и Q
— точки касания). По теореме о касательной и секущей
MQ^{2}=MA\cdot MB=MP^{2}.
Поэтому MQ=MP
.
Пусть R
— радиус окружности S_{2}
(и S
). По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OQM
находим, что
OM^{2}=OQ^{2}+MQ^{2}=R^{2}+MP^{2}.
Следовательно, точка O
лежит на окружности с центром в точке M
и радиусом, равным \sqrt{R^{2}+MP^{2}}
. С другой стороны, так как \angle O_{1}OO_{2}=90^{\circ}
, то точка O
лежит на окружности с диаметром O_{1}O_{2}
.
Отсюда вытекает следующее построение. Из данной точки M
проводим касательную MP
к окружности S_{1}
. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам, равным радиусу R
окружности S_{1}
и отрезку MP
. С центром в точке M
проводим окружность радиусом, равным гипотенузе построенного треугольника. Пересечение этой окружности с окружностью, построенной на отрезке с концами в центрах данных окружностей как на диаметре, даёт точку O
. Наконец, через точку M
проводим прямую, параллельную прямой OO_{2}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 15.11, с. 40
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 15.13, с. 346
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2008, 8-9 классы