5515. Стороны треугольника равны a
и b
, а угол между ними равен \gamma
. Найдите медиану, проведённую из вершины этого угла.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\gamma}
.
Указание. Достройте треугольник до параллелограмма и примените теорему косинусов.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
известно, что AC=b
, BC=a
и \angle ACB=\gamma
.
На продолжении медианы CM
за точку M
отложим отрезок MD=CM
. Тогда четырёхугольник ACBD
— параллелограмм, поэтому
BD=AC=b,~\angle CBD=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-\gamma.
По теореме косинусов
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos\angle CBD=
=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ}-\gamma)=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\gamma.
Следовательно,
CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\gamma}.