5520. Окружности радиусов 2 и 10 с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
касаются в точке A
. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает меньшую окружность в точке B
, а большую — в точке C
. Найдите площадь треугольника BCO_{2}
, если \angle ABO_{1}=22{,}5^{\circ}
.
Ответ. 20\sqrt{2}
или 30\sqrt{2}
.
Решение. Возможны два случая.
Первый случай. Окружности касаются внутренним образом. Точки O_{2}
, O_{1}
и A
лежат на одной прямой. Треугольники BO_{1}A
и CO_{2}A
равнобедренные, значит, \angle ACO_{2}=\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=22{,}5^{\circ}
. Отсюда получаем, что AB=2AO_{1}\cos22{,}5^{\circ}=4\cos22{,}5^{\circ}
.
Аналогично находим, что AC=20\cos22{,}5^{\circ}
, а так как окружности касаются внутренним образом, то BC=AC-AB=20\cos22{,}5^{\circ}-4\cos22{,}5^{\circ}=16\cos22{,}5^{\circ}
. Следовательно,
S_{\triangle BCO_{2}}=\frac{1}{2}O_{2}C\cdot BC\sin\angle BCO_{2}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot16\cos22{,}5^{\circ}\sin22{,}5^{\circ}=
=40\cdot2\cos22{,}5^{\circ}\cdot\sin22{,}5^{\circ}=40\sin45^{\circ}=20\sqrt{2}.
Второй случай. Окружности касаются внешним образом. Как и в первом случае
\angle BCO_{2}=\angle CAO_{2}=\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=22{,}5^{\circ},~AB=4\cos22{,}5^{\circ},~AC=20\cos22{,}5^{\circ}.
Окружности касаются внешним образом, поэтому BC=AB+AC=4\cos22{,}5^{\circ}+20\cos22{,}5^{\circ}=24\cos22{,}5^{\circ}
. Следовательно,
S_{\triangle BCO_{2}}=\frac{1}{2}O_{2}C\cdot BC\sin\angle BCO_{2}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot24\cos22{,}5^{\circ}\sin22{,}5^{\circ}=
=60\cdot2\cos22{,}5^{\circ}\cdot\sin22{,}5^{\circ}=60\sin45^{\circ}=30\sqrt{2}.