5524. На стороне BC
треугольника ABC
выбрана произвольная точка D
. В треугольники ABD
и ACD
вписаны окружности с центрами K
и L
соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников BKD
и CLD
вторично пересекаются на фиксированной окружности.
Решение. Пусть описанные окружности треугольников BKD
и CLD
вторично пересекаются в точке M
. Пользуясь тем, что четырёхугольники BKDM
и CLDM
вписанные, получаем, что
\angle BMC=\angle BMD+\angle CMD=(180^{\circ}-\angle BKD)+(180^{\circ}-\angle CLD)=
=\angle KBD+\angle KDB+\angle LDC+\angle LCD=\frac{1}{2}(\angle ABD+\angle ADB+\angle ADC+\angle ACD)=
=\frac{1}{2}(\angle ABD+180^{\circ}+\angle ACD)=90^{\circ}+(\angle ABD+\angle ACD).
Величина угла BMC
фиксирована, поэтому M
лежит на фиксированной окружности с хордой BC
.
Примечание. В решении используется, что точки A
и M
лежат по разные стороны от BC
. Это нетрудно вывести из того, что углы BKD
и CLD
тупые, так как \angle BKD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAD
и \angle CLD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle CAD
(см. задачу 4770).
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2006-2007, XXXIII, региональный этап, 9 класс