5528. Окружности радиусов 4\sqrt{3}
и 13\sqrt{3}
с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
касаются в точке L
. Прямая, проходящая через точку L
, вторично пересекает меньшую окружность в точке K
, а большую — в точке M
. Найдите площадь треугольника KMO_{1}
, если \angle LMO_{2}=30^{\circ}
.
Ответ. 27\sqrt{3}
или 51\sqrt{3}
.
Решение. Возможны два случая.
Первый случай. Окружности касаются внутренним образом. Точки O_{2}
, O_{1}
и L
лежат на одной прямой. Треугольники KO_{1}L
и MO_{2}L
равнобедренные, значит, \angle LKO_{1}=\angle MLO_{2}=\angle LMO_{2}=30^{\circ}
. Отсюда получаем, что KL=2O_{1}L\cos30^{\circ}=8\sqrt{3}\cos30^{\circ}=12
.
Аналогично находим, что ML=39
, а так как окружности касаются внутренним образом, то MK=ML-KL=39-12=27
. Следовательно,
S_{\triangle KMO_{1}}=\frac{1}{2}O_{1}K\cdot MK\sin\angle MKO_{1}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot27\sin150^{\circ}=27\sqrt{3}.
Второй случай. Окружности касаются внешним образом. Как и в первом случае
\angle LKO_{1}=\angle KLO_{1}=\angle MLO_{2}=\angle LMO_{2}=30^{\circ},~KL=12,~ML=39.
Окружности касаются внешним образом, поэтому MK=KL+ML=12+39=51
. Следовательно,
S_{\triangle KMO_{1}}=\frac{1}{2}O_{1}K\cdot MK\sin\angle MKO_{1}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot51\sin30^{\circ}=51\sqrt{3}.