5530. Окружности радиусов 9\sqrt{3}
и 15\sqrt{3}
с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
касаются в точке L
. Прямая, проходящая через точку L
, вторично пересекает меньшую окружность в точке K
, а большую — в точке M
. Найдите площадь треугольника KMO_{1}
, если \angle LMO_{2}=30^{\circ}
.
Ответ. \frac{81\sqrt{3}}{2}
или 162\sqrt{3}
.
Решение. Возможны два случая.
Первый случай. Окружности касаются внутренним образом. Точки O_{2}
, O_{1}
и L
лежат на одной прямой. Треугольники KO_{1}L
и MO_{2}L
равнобедренные, значит, \angle LKO_{1}=\angle MLO_{2}=\angle LMO_{2}=30^{\circ}
. Отсюда получаем, что KL=2O_{1}L\cos30^{\circ}=18\sqrt{3}\cos30^{\circ}=27
.
Аналогично находим, что ML=45
, а так как окружности касаются внутренним образом, то MK=ML-KL=45-27=18
. Следовательно,
S_{\triangle KMO_{1}}=\frac{1}{2}O_{1}K\cdot MK\sin\angle MKO_{1}=\frac{1}{2}\cdot9\sqrt{3}\cdot18\sin150^{\circ}=\frac{81\sqrt{3}}{2}.
Второй случай. Окружности касаются внешним образом. Как и в первом случае
\angle LKO_{1}=\angle KLO_{1}=\angle MLO_{2}=\angle LMO_{2}=30^{\circ},~KL=27,~ML=45.
Окружности касаются внешним образом, поэтому MK=KL+ML=27+45=72
. Следовательно,
S_{\triangle KMO_{1}}=\frac{1}{2}O_{1}K\cdot MK\sin\angle MKO_{1}=\frac{1}{2}\cdot9\sqrt{3}\cdot72\sin30^{\circ}=162\sqrt{3}.