5531. Окружности радиусов 1 и 4 с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
касаются внешним образом в точке C
, O_{1}A
и O_{2}B
— параллельные радиусы окружностей, причём \angle AO_{1}O_{2}=60^{\circ}
. Найдите AB
.
Ответ. 7 или 5.
Решение. Поскольку окружности касаются внешним образом, точка касания лежит на отрезке O_{1}O_{2}
. Возможны два случая.
Первый случай. Точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой O_{1}O_{2}
. Через точку A
проведём прямую, параллельную O_{1}O_{2}
. Пусть M
— точка её пересечения с радиусом O_{2}B
. В треугольнике AMB
известно, что
MA=O_{1}O_{2}=1+4=5,~MB=O_{2}B-O_{2}M=O_{2}B-O_{1}A=4-1=3,~
\angle AMB=180^{\circ}-\angle AMO_{2}=\angle180^{\circ}-\angle AO_{1}O_{2}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
По теореме косинусов
AB^{2}=MA^{2}+MB^{2}-2MA\cdot MB\cos120^{\circ}=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=49.
Следовательно, AB=7
.
Второй случай. Точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой O_{1}O_{2}
. Через точку A
проведём прямую, параллельную O_{1}O_{2}
. Пусть M
— точка её пересечения с продолжением радиуса O_{2}B
. В треугольнике AMB
известно, что
MA=O_{1}O_{2}=1+4=5,~MB=O_{2}B+O_{2}M=O_{2}B+O_{1}A=4+1=5,~
\angle AMB=\angle AO_{1}O_{2}=60^{\circ}.
Треугольник AMB
равносторонний, следовательно, AB=MB=5
.