5537. Окружности радиусов 1 и 4 с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
касаются внутренним образом в точке K
, O_{1}M
и O_{2}N
— параллельные радиусы окружностей, причём \angle MO_{1}O_{2}=120^{\circ}
. Найдите MN
.
Ответ. 3 или 7.
Решение. Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка O_{1}O_{2}
за точку O_{1}
. Возможны два случая.
Первый случай. Точки M
и N
лежат по одну сторону от прямой O_{1}O_{2}
. Через точку M
проведём прямую, параллельную O_{1}O_{2}
. Пусть A
— точка её пересечения с радиусом O_{2}N
. В треугольнике AMN
известно, что
AM=O_{1}O_{2}=4-1=3,~AN=O_{2}N-O_{2}A=O_{2}N-O_{1}M=4-1=3,~
\angle MAN=180^{\circ}-\angle MAO_{2}=\angle180^{\circ}-\angle MO_{1}O_{2}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Треугольник AMN
равносторонний, следовательно, MN=AM=3
.
Второй случай. Точки M
и N
лежат по разные стороны от прямой O_{1}O_{2}
. Через точку M
проведём прямую, параллельную O_{1}O_{2}
. Пусть A
— точка её пересечения с продолжением радиуса O_{2}N
. В треугольнике MAN
известно, что
AM=O_{1}O_{2}=4-1=3,~AN=O_{2}N+O_{2}A=O_{2}N+O_{1}M=4+1=5,~
\angle MAN=\angle MO_{1}O_{2}=120^{\circ}.
По теореме косинусов
MN^{2}=AN^{2}+AM^{2}-2AN\cdot AM\cos120^{\circ}=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=25+9+15=49.
Следовательно, MN=7
.