5540. Окружности радиусов 13 и 35 с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
касаются внутренним образом в точке K
, O_{1}M
и O_{2}N
— параллельные радиусы окружностей, причём \angle MO_{1}O_{2}=120^{\circ}
. Найдите MN
.
Ответ. 22 или 62.
Решение. Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка O_{1}O_{2}
за точку O_{1}
. Возможны два случая.
Первый случай. Точки M
и N
лежат по одну сторону от прямой O_{1}O_{2}
. Через точку M
проведём прямую, параллельную O_{1}O_{2}
. Пусть A
— точка её пересечения с радиусом O_{2}N
. В треугольнике AMN
известно, что
AM=O_{1}O_{2}=35-13=22,~AN=O_{2}N-O_{2}A=O_{2}N-O_{1}M=35-13=22,~
\angle MAN=180^{\circ}-\angle MAO_{2}=\angle180^{\circ}-\angle MO_{1}O_{2}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Треугольник AMN
равносторонний, следовательно, MN=AM=22
.
Второй случай. Точки M
и N
лежат по разные стороны от прямой O_{1}O_{2}
. Через точку M
проведём прямую, параллельную O_{1}O_{2}
. Пусть A
— точка её пересечения с продолжением радиуса O_{2}N
. В треугольнике MAN
известно, что
AM=O_{1}O_{2}=35-13=22,~AN=O_{2}N+O_{2}A=O_{2}N+O_{1}M=35+13=48,~
\angle MAN=\angle MO_{1}O_{2}=120^{\circ}.
По теореме косинусов
MN^{2}=AN^{2}+AM^{2}-2AN\cdot AM\cos120^{\circ}=48^{2}+22^{2}-2\cdot48\cdot22\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=
=4(576+121+264)=4\cdot961.
Следовательно, MN=\sqrt{4\cdot961}=2\cdot31=62
.