5543. В окружности проведены хорды PQ
и CD
. Известно, что PQ=PD=CD=8
, CQ=6
. Найдите CP
.
Ответ. 4\sqrt{7}
или 4.
Решение. Возможны два случая: точки C
и D
лежат по одну или по разные стороны от прямой PQ
. В первом случае по свойству вписанного четырёхугольника \angle PDC=180^{\circ}-\angle PQC
, во втором — по теореме о вписанных углах \angle PDC=\angle PQC
.
Первый случай. Обозначим \angle PDC=\alpha
. Тогда \angle PQC=180^{\circ}-\alpha
. По теореме косинусов из треугольников PDC
и PQC
находим, что
CP^{2}=DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha=64+64-2\cdot8\cdot8\cos\alpha,~
CP^{2}=QC^{2}+QP^{2}-2QC\cdot QP\cos(180^{\circ}-\alpha)=36+64+2\cdot6\cdot8\cos\alpha.~
Из равенства
64+64-2\cdot8\cdot8\cos\alpha=36+64+2\cdot6\cdot8\cos\alpha
находим, что \cos\alpha=\frac{1}{8}
. Следовательно,
CP=\sqrt{DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha}=\sqrt{64+64-2\cdot8\cdot8\cdot\frac{1}{8}}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}.
Второй случай. Обозначим \angle PDC=\angle PQC=\alpha
. По теореме косинусов из треугольников PDC
и PQC
находим, что
CP^{2}=DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha=64+64-2\cdot8\cdot8\cos\alpha,~
CP^{2}=QC^{2}+QP^{2}-2QC\cdot QP\cos\alpha=36+64-2\cdot6\cdot8\cos\alpha.~
Из равенства
64+64-2\cdot8\cdot8\cos\alpha=36+64-2\cdot6\cdot8\cos\alpha
находим, что \cos\alpha=\frac{7}{8}
. Следовательно,
CP=\sqrt{DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha}=\sqrt{64+64-2\cdot8\cdot8\cdot\frac{7}{8}}=\sqrt{16}=4.