5546. В окружности проведены хорды PQ
и CD
. Известно, что PQ=PD=CD=12
, CQ=4
. Найдите CP
.
Ответ. 8\sqrt{3}
или 4\sqrt{6}
.
Решение. Возможны два случая: точки C
и D
лежат по одну или по разные стороны от прямой PQ
. В первом случае по свойству вписанного четырёхугольника \angle PQC=180^{\circ}-\angle PDC
, во втором — по теореме о вписанных углах \angle PDC=\angle PQC
.
Первый случай. Обозначим \angle PDC=\alpha
. Тогда \angle PQC=180^{\circ}-\alpha
. По теореме косинусов из треугольников PDC
и PQC
находим, что
CP^{2}=DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha=144+144-2\cdot12\cdot12\cos\alpha,~
CP^{2}=QC^{2}+QP^{2}-2QC\cdot QP\cos(180^{\circ}-\alpha)=16+144+2\cdot4\cdot12\cos\alpha.~
Из равенства
144+144-2\cdot12\cdot12\cos\alpha=16+144+2\cdot4\cdot12\cos\alpha
находим, что \cos\alpha=\frac{1}{3}
. Следовательно,
CP=\sqrt{DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha}=\sqrt{144+144-2\cdot12\cdot12\cdot\frac{1}{3}}=8\sqrt{3}.
Второй случай. Обозначим \angle PDC=\angle PQC=\alpha
. По теореме косинусов из треугольников PDC
и PQC
находим, что
CP^{2}=DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha=144+144-2\cdot12\cdot12\cos\alpha,~
CP^{2}=QC^{2}+QP^{2}-2QC\cdot QP\cos\alpha=16+144-2\cdot4\cdot12\cos\alpha.~
Из равенства
144+144-2\cdot12\cdot12\cos\alpha=16+196-2\cdot4\cdot12\cos\alpha
находим, что \cos\alpha=\frac{2}{3}
. Следовательно,
CP=\sqrt{DC^{2}+DP^{2}-2DC\cdot DP\cos\alpha}=\sqrt{144+144-2\cdot12\cdot12\cdot\frac{2}{3}}=4\sqrt{6}.