5550. Угол при вершине C
треугольника ABC
равен 45^{\circ}
. На сторонах AB
и AC
как на диаметрах построены окружности, D
— точка их пересечения, отличная от A
. Известно, что BD:DC=12:5
. Найдите синус угла при вершине A
.
Ответ. \frac{17\sqrt{2}}{26}
или \frac{7\sqrt{2}}{26}
.
Решение. Точка D
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ADB=90^{\circ}
. Аналогично \angle ADC=90^{\circ}
. Значит, точка D
лежит на прямой BC
. Положим BD=5x
, DC=12x
. Из прямоугольных треугольников ADC
и ADB
находим, что
AD=CD\tg45^{\circ}=12x,~AB=\sqrt{AD^{2}+DB^{2}}=\sqrt{144x^{2}+25x^{2}}=13x.
Возможны два случая: угол ABC
острый или тупой (прямым он быть не может, так как тогда точка D
совпала бы с B
, что невозможно по условию). Обозначим \angle BAC=\alpha
.
В первом из этих случаев точка D
лежит на отрезке BC
, поэтому BC=BD+DC=5x+12x=17x
. По теореме синусов \frac{AB}{\sin45^{\circ}}=\frac{BC}{\sin\alpha}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{BC\sin45^{\circ}}{AB}=\frac{17x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{13x}=\frac{17\sqrt{2}}{26}.
Во втором случае точка D
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
, поэтому BC=DC-BD=12x-5x=7x
. По теореме синусов \frac{AB}{\sin45^{\circ}}=\frac{BC}{\sin\alpha}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{BC\sin45^{\circ}}{AB}=\frac{7x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{13x}=\frac{7\sqrt{2}}{26}.
Источник: ЕГЭ. — 2013