5552. Угол при вершине C
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. На сторонах AB
и AC
как на диаметрах построены окружности, D
— точка их пересечения, отличная от A
. Известно, что BD:DC=1:3
. Найдите синус угла при вершине A
.
Ответ. \frac{\sqrt{21}}{7}
или \frac{\sqrt{21}}{14}
.
Решение. Точка D
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ADB=90^{\circ}
. Аналогично \angle ADC=90^{\circ}
. Значит, точка D
лежит на прямой BC
. Положим BD=x
, DC=3x
. Из прямоугольных треугольников ADC
и ADB
находим, что
AD=CD\tg60^{\circ}=3x\sqrt{3},~AB=\sqrt{AD^{2}+DB^{2}}=\sqrt{27x^{2}+x^{2}}=2x\sqrt{7}.
Возможны два случая: угол ABC
острый или тупой (прямым он быть не может, так как тогда точка D
совпала бы с B
, что невозможно по условию). Обозначим \angle BAC=\alpha
.
В первом из этих случаев точка D
лежит на отрезке BC
, поэтому BC=BD+DC=x+3x=4x
. По теореме синусов \frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{BC}{\sin\alpha}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{BC\sin60^{\circ}}{AB}=\frac{4x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2x\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.
Во втором случае точка D
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
, поэтому BC=DC-BD=3x-x=2x
. По теореме синусов \frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{BC}{\sin\alpha}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{BC\sin60^{\circ}}{AB}=\frac{2x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2x\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}.