5553. Угол при вершине C
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. На сторонах AB
и AC
как на диаметрах построены окружности, D
— точка их пересечения, отличная от A
. Известно, что BD:DC=3:4
. Найдите синус угла при вершине A
.
Ответ. \frac{7\sqrt{19}}{38}
или \frac{\sqrt{19}}{38}
.
Решение. Точка D
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ADB=90^{\circ}
. Аналогично \angle ADC=90^{\circ}
. Значит, точка D
лежит на прямой BC
. Положим BD=3x
, DC=4x
. Из прямоугольных треугольников ADC
и ADB
находим, что
AD=CD\tg60^{\circ}=4x\sqrt{3},~AB=\sqrt{AD^{2}+DB^{2}}=\sqrt{48x^{2}+9x^{2}}=x\sqrt{57}.
Возможны два случая: угол ABC
острый или тупой (прямым он быть не может, так как тогда точка D
совпала бы с B
, что невозможно по условию). Обозначим \angle BAC=\alpha
.
В первом из этих случаев точка D
лежит на отрезке BC
, поэтому BC=BD+DC=4x+3x=7x
. По теореме синусов \frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{BC}{\sin\alpha}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{BC\sin60^{\circ}}{AB}=\frac{7x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{x\sqrt{57}}=\frac{7\sqrt{19}}{38}.
Во втором случае точка D
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
, поэтому BC=DC-BD=4x-3x=x
. По теореме синусов \frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{BC}{\sin\alpha}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{BC\sin60^{\circ}}{AB}=\frac{x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{x\sqrt{57}}=\frac{\sqrt{19}}{38}.
Источник: ЕГЭ. — 2013