5559. Радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
равны 1 и 3. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных и прямой O_{1}O_{2}
, если известно, что O_{1}O_{2}=14
.
Ответ. 12 или 180.
Решение. Пусть O
— центр искомой окружности, R
— её радиус. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому OO_{1}=R+1
, OO_{2}=R+3
. Высота треугольника O_{1}OO_{2}
, проведённая из вершины O
, равна R
, значит,
S_{\triangle O_{1}OO_{2}}=\frac{1}{2}\cdot14\cdot R=7R.
Пусть p
— полупериметр этого треугольника. Тогда p=\frac{1}{2}(R+1+R+3+14)=R+9
. По формуле Герона
S_{\triangle O_{1}OO_{2}}=\sqrt{p(p-OO_{1})(p-OO_{2})(p-O_{1}O_{2})}=
=\sqrt{(R+9)\cdot8\cdot6\cdot(R-5)}=\sqrt{48(R+9)(R-5)}.
Следовательно, \sqrt{48(R+9)(R-5)}=7R
.
После возведения в квадрат обеих частей этого уравнения и приведения подобных, получим квадратное уравнение R^{2}-4\cdot48R+48\cdot45=0
, четверть дискриминанта которого равна
2^{2}\cdot48^{2}-48\cdot45=48(4\cdot48-45)=48\cdot3(4\cdot16-15)=48\cdot3\cdot49=144\cdot49=12^{2}\cdot7^{2}=84^{2}.
Следовательно, R=96-84=12
или R=96+84=180
.
В первом случае точка касания искомой окружности с прямой O_{1}O_{2}
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, во втором — на продолжении этого отрезка.