5560. Радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
равны 2 и 10. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных и прямой O_{1}O_{2}
, если известно, что O_{1}O_{2}=28
.
Ответ. 15 или 120.
Решение. Пусть O
— центр искомой окружности, R
— её радиус. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому OO_{1}=R+2
, OO_{2}=R+10
. Высота треугольника O_{1}OO_{2}
, проведённая из вершины O
, равна R
, значит,
S_{\triangle O_{1}OO_{2}}=\frac{1}{2}\cdot28\cdot R=14R.
Пусть p
— полупериметр этого треугольника. Тогда p=\frac{1}{2}(R+2+R+10+28)=R+20
. По формуле Герона
S_{\triangle O_{1}OO_{2}}=\sqrt{p(p-OO_{1})(p-OO_{2})(p-O_{1}O_{2})}=
=\sqrt{(R+20)\cdot18\cdot10\cdot(R-8)}=\sqrt{180(R+20)(R-8)}.
Следовательно, \sqrt{180(R+20)(R-8)}=14R
.
После возведения в квадрат обеих частей этого уравнения, приведения подобных и деления на 16, получим квадратное уравнение R^{2}-45\cdot3R+10\cdot180=0
, дискриминант которого равен
45^{2}\cdot3^{2}-4\cdot10\cdot180=45(45\cdot9-10\cdot16)=45(405-160)=45\cdot245=45\cdot5\cdot49=
=3^{2}\cdot5^{2}\cdot7^{2}=(3\cdot5\cdot7)^{2}=105^{2}.
Следовательно, R=\frac{135-105}{2}=15
или R=\frac{135+105}{2}=120
.
В первом случае точка касания искомой окружности с прямой O_{1}O_{2}
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, во втором — на продолжении этого отрезка.
Источник: ЕГЭ. — 2013