5563. Окружности радиусов 3 и 5 с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
касаются в точке A
. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает меньшую окружность в точке B
, а большую — в точке C
. Найдите площадь треугольника BCO_{2}
, если \angle ABO_{1}=15^{\circ}
.
Ответ. 2,5 или 10.
Решение. Возможны два случая.
Первый случай. Окружности касаются внутренним образом. Точки O_{2}
, O_{1}
и A
лежат на одной прямой. Треугольники BO_{1}A
и CO_{2}A
равнобедренные, значит, \angle ACO_{2}=\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=15^{\circ}
. Отсюда получаем, что AB=2AO_{1}\cos15^{\circ}=6\cos15^{\circ}
.
Аналогично находим, что AC=10\cos15^{\circ}
, а так как окружности касаются внутренним образом, то BC=AC-AB=10\cos15^{\circ}-6\cos15^{\circ}=4\cos15^{\circ}
. Следовательно,
S_{\triangle BCO_{2}}=\frac{1}{2}O_{2}C\cdot BC\sin\angle BCO_{2}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot4\cos15^{\circ}\sin15^{\circ}=
=5\cdot2\cos15^{\circ}\cdot\sin15^{\circ}=5\sin30^{\circ}=\frac{5}{2}.
Второй случай. Окружности касаются внешним образом. Как и в первом случае
\angle BCO_{2}=\angle CAO_{2}=\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=15^{\circ},~AB=6\cos15^{\circ},~AC=10\cos15^{\circ}.
Окружности касаются внешним образом, поэтому BC=AB+AC=6\cos15^{\circ}+10\cos15^{\circ}=16\cos15^{\circ}
. Следовательно,
S_{\triangle BCO_{2}}=\frac{1}{2}O_{2}C\cdot BC\sin\angle BCO_{2}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot16\cos15^{\circ}\sin15^{\circ}=
=20\cdot2\cos15^{\circ}\cdot\sin15^{\circ}=20\sin30^{\circ}=10.