5567. Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60^{\circ}
. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M
и N
. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN
.
Ответ. 3\sqrt{15}
или 3\sqrt{7}
.
Решение. Пусть O_{1}
— центр окружности радиуса 6, O_{2}
— центр второй окружности, O
— вершина данного угла, A
и B
точки касания соответственно первой и второй окружностей с одной из сторон угла. Поскольку окружности вписаны в угол, их центры O_{1}
и O_{2}
лежат на его биссектрисе, поэтому OO_{1}=2O_{1}A=12
. Возможны два случая.
Первый случай. Точка O_{1}
лежит между O
и O_{2}
. Тогда OO_{2}=OO_{1}+O_{1}O_{2}=12+4=16
, а радиус O_{2}B
второй окружности равен \frac{1}{2}OO_{2}=8
.
В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что O_{1}O_{2}=4
, O_{1}M=6
, O_{2}M=O_{2}B=8
. Общая хорда MN
окружностей перпендикулярна линии центров O_{1}O_{2}
и делится ею пополам, поэтому высота MH
треугольника O_{1}MO_{2}
равна половине MN
.
Пусть p
— полупериметр треугольника O_{1}MO_{2}
. Тогда
p=\frac{O_{1}O_{2}+O_{1}M+O_{2}M}{2}=\frac{4+6+8}{2}=9.
По формуле Герона
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\sqrt{p(p-O_{1}O_{2})(p-O_{1}M)(p-O_{2}M)}=\sqrt{9\cdot5\cdot3\cdot1}=3\sqrt{15}.
С другой стороны,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot4\cdot MH=2MH.
Из равенства 2MH=3\sqrt{15}
находим, что MH=\frac{3}{2}\sqrt{15}
. Следовательно, MN=2MH=3\sqrt{15}
.
Второй случай. Точка O_{2}
лежит между O
и O_{1}
. Тогда OO_{2}=OO_{1}-O_{1}O_{2}=12-4=8
, а радиус второй окружности равен \frac{1}{2}OO_{2}=4
.
В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что O_{1}O_{2}=4
, O_{1}M=6
, O_{2}M=4=O_{1}O_{2}
. Высота треугольника, проведённая из вершины O_{2}
, равна \sqrt{16-9}=\sqrt{7}
, значит,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot\sqrt{7}=3\sqrt{7}.
С другой стороны,
S_{\triangle O_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot4\cdot MH=2MH.
Из равенства 2MH=3\sqrt{7}
находим, что MH=\frac{3}{2}\sqrt{7}
. Следовательно, MN=2MH=3\sqrt{7}
.