5569. В трапецию ABCD
можно вписать окружность. Длины её боковых сторон AB
и CD
равны соответственно 15 и 9, а длина основания AD
меньше длины BC
. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей равно \frac{5}{11}
. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности и длины диагоналей трапеции.
Ответ. \sqrt{14}
, 2\sqrt{30}
, 2\sqrt{78}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины боковых сторон соответственно AB
и CD
трапеции ABCD
. Обозначим BC=x
, AD=y
. Тогда MN=\frac{x+y}{2}
. Средняя линия делит высоту трапеции пополам, поэтому высоты трапеций MBCN
и AMND
равны. Значит, площади этих трапеций относятся как полусуммы их оснований. Поэтому
\frac{x+\frac{x+y}{2}}{y+\frac{x+y}{2}}=\frac{11}{5},~\frac{3x+y}{x+3y}=\frac{11}{5},~5(3x+y)=11(x+3y).
Отсюда получаем, что x=7y
, а так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон, т. е. y+7y=15+9
. Следовательно, y=3
. Тогда BC=21
, AD=3
.
Через вершину A
проведём прямую, параллельную боковой стороне CD
. Пусть эта прямая пересекает основание BC
в точке K
. Тогда
BK=BC-CK=BC-CK=21-3=18,~AK=CD=9.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в трапецию, p
— полупериметр треугольника ABK
, h=AH
— высота треугольника ABK
. Тогда p=\frac{9+15+18}{2}=21
. По формуле Герона
S_{\triangle ABK}=\sqrt{p(p-9)(p-15)(p-18)}=\sqrt{21\cdot12\cdot6\cdot3}=18\sqrt{14}.
С другой стороны, S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}BK\cdot h=9h
. Из равенства 9h=18\sqrt{14}
находим, что h=2\sqrt{14}
. Следовательно, r=\frac{h}{2}=\sqrt{14}
.
Пусть DP
— высота трапеции. Обозначим \angle ABC=\alpha
, \angle BCD=\beta
. Из прямоугольных треугольников AHB
и CPD
находим, что
\sin\alpha=\frac{AH}{AB}=\frac{2\sqrt{14}}{15},~\sin\beta=\frac{DP}{CD}=\frac{2\sqrt{14}}{9}.
Тогда
\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{14}}{15}\right)^{2}}=\frac{13}{15},~\cos\beta=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{14}}{9}\right)^{2}}=\frac{5}{9}.
По теореме косинусов
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\alpha=225+441-2\cdot15\cdot21\cdot\frac{13}{15}=120,
BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2BC\cdot CD\cos\beta=441+81-2\cdot21\cdot9\cdot\frac{5}{9}=312.
Следовательно,
AC=2\sqrt{30},~BD=2\sqrt{78}.