5571. В параллелограмме ABCD
окружность радиуса \frac{1}{4}
с центром на отрезке CD
проходит через точку D
и касается отрезка BC
в точке E
такой, что угол BED
равен \arctg\frac{4}{3}
. Найдите:
1) высоту BF
параллелограмма и длину отрезка CD
;
2) площадь параллелограмма, если AB=BE
.
Ответ. \frac{8}{25}
, \frac{8}{27}
, \frac{16}{25}
.
Решение. Обозначим \angle BED=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{4}{3},~\cos\alpha=\frac{3}{5},~\sin\alpha=\frac{4}{5},~
\cos2\alpha=cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{9}{25}-\frac{16}{27}=-\frac{7}{25}.
1) Пусть O
— центр данной окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle DOE=2\angle BED=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника DOE
находим, что
DE=2OE\sin\frac{1}{2}\angle DOE=2OE\sin\alpha=2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2}{5}.
Пусть P
— проекция точки O
на прямую AD
. Тогда точка O
лежит на отрезке EP
, а \angle EDP=\angle BED=\alpha
. Из прямоугольного треугольника EDP
находим, что
EP=DE\sin\alpha=\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{25}.
Следовательно BF=EP=\frac{8}{25}
.
Обозначим \angle BAD=\angle BCD=\beta
. Заметим, что \beta\lt90^{\circ}
, так как точка E
лежит на стороне BC
. По теореме о внешнем угле треугольника
\beta=\angle ECD=\angle DOE-\angle OEC=2\alpha-90^{\circ},~\sin\beta=\sin(2\alpha-90^{\circ})=-\cos2\alpha=\frac{7}{25}.
Следовательно,
CD=AB=\frac{BF}{\sin\angle BAD}=\frac{BF}{\sin\beta}=\frac{\frac{8}{25}}{\frac{7}{25}}=\frac{8}{7}.
2) Поскольку
\ctg\beta=\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\beta}-1}=\sqrt{\frac{625}{49}-1}=\frac{24}{7},
из прямоугольного треугольника COE
находим, что
EC=OE\ctg\beta=\frac{1}{4}\cdot\frac{24}{7}=\frac{6}{7}.
Значит,
AD=BC=BE+EC=AB+EC=\frac{8}{7}+\frac{6}{7}=2.
Следовательно,
S_{ABCD}=AD\cdot BF=2\cdot\frac{8}{25}=\frac{16}{25}.