5572. В параллелограмме ABCD
окружность радиуса 1 с центром на отрезке BC
проходит через точку C
и касается отрезка AB
в точке E
такой, что угол AEC
равен \arctg2
. Найдите:
1) высоту CF
параллелограмма и длину отрезка BC
;
2) площадь параллелограмма, если AD=AE
.
Ответ. \frac{8}{5}
, \frac{8}{3}
, \frac{32}{5}
.
Решение. 1) Обозначим \angle AEC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=2,~\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}},~\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}},~
\cos2\alpha=cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{1}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}.
Пусть O
— центр данной окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle COE=2\angle AEC=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника COE
находим, что
CE=2OE\sin\frac{1}{2}\angle COE=2OE\sin\alpha=2\cdot1\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}.
Пусть P
— проекция точки O
на прямую CD
. Тогда точка O
лежит на отрезке EP
, а \angle ECP=\angle AEC=\alpha
. Из прямоугольного треугольника ECP
находим, что
EP=CE\sin\alpha=\frac{4}{\sqrt{5}}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{8}{5}.
Следовательно CF=EP=\frac{8}{5}
.
Обозначим \angle ABC=\angle ADC=\beta
. Заметим, что \beta\lt90^{\circ}
, так как точка E
лежит на стороне AB
. По теореме о внешнем угле треугольника
\beta=\angle OBE=\angle COE-\angle BEO=2\alpha-90^{\circ},~\sin\beta=\sin(2\alpha-90^{\circ})=-\cos2\alpha=\frac{3}{5}.
Следовательно,
BC=\frac{CF}{\sin\angle CBF}=\frac{CF}{\sin\beta}=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{8}{3}.
2) Поскольку
\ctg\beta=\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\beta}-1}=\sqrt{\frac{25}{9}-1}=\frac{4}{3},
из прямоугольного треугольника BOE
находим, что
BE=OE\ctg\beta=1\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{3}.
Значит,
AB=AE+BE=AD+BE=BC+BE=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=4.
Следовательно,
S_{ABCD}=AB\cdot CF=4\cdot\frac{8}{5}=\frac{32}{5}.