5573. В параллелограмме ABCD
окружность радиуса \frac{1}{2}
с центром на отрезке AB
проходит через точку B
и касается отрезка AD
в точке E
такой, что угол BED
равен \arctg\frac{3}{2}
. Найдите:
1) высоту BF
параллелограмма и длину отрезка AB
;
2) площадь параллелограмма, если CD=DE
.
Ответ. \frac{9}{13}
, \frac{9}{5}
, \frac{27}{13}
.
Решение. 1) Обозначим \angle BED=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{3}{2},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},
\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{4}{13}-\frac{9}{13}=-\frac{5}{13}.
Пусть O
— центр данной окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle BOE=2\angle BED=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника BOE
находим, что
BE=2OE\sin\frac{1}{2}\angle BOE=2OE\sin\alpha=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.
Пусть P
— проекция точки O
на прямую BC
. Тогда точка O
лежит на отрезке EP
, а \angle PBE=\angle BED=\alpha
. Из прямоугольного треугольника PBE
находим, что
EP=BE\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{9}{13}.
Следовательно BF=EP=\frac{9}{13}
.
Обозначим \angle BAD=\angle BCD=\beta
. Заметим, что \beta\lt90^{\circ}
, так как точка E
лежит на стороне AD
. По теореме о внешнем угле треугольника
\beta=\angle EAO=\angle BOE-\angle OEA=2\alpha-90^{\circ},~\sin\beta=\sin(2\alpha-90^{\circ})=-\cos2\alpha=\frac{5}{13}.
Следовательно,
CD=AB=\frac{BF}{\sin\angle BAD}=\frac{BF}{\sin\beta}=\frac{\frac{9}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{9}{5}.
2) Поскольку
\ctg\beta=\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\beta}-1}=\sqrt{\frac{169}{25}-1}=\frac{12}{5},
из прямоугольного треугольника OAE
находим, что
AE=OE\ctg\beta=\frac{1}{2}\cdot\frac{12}{5}=\frac{6}{5}.
Значит,
AD=DE+AE=CD+AE=\frac{9}{5}+\frac{6}{5}=3.
Следовательно,
S_{ABCD}=AD\cdot BF=3\cdot\frac{9}{13}=\frac{27}{13}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2011, билет 3
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.239, с. 100
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2011, билет Ф, задача 4