5576. В треугольнике ABC
окружность радиуса \frac{13}{2\sqrt{3}}
с центром на отрезке AB
проходит через точку A
и касается отрезка BC
в точке D
такой, что угол ADC
равен \arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}
. Найдите:
1) высоту AF
треугольника ABC
и длину отрезка BD
;
2) площадь треугольника ABC
, если AC=BD
.
Ответ. 3\sqrt{3}
, \frac{26\sqrt{3}}{5}
, \frac{9}{10}(36+\sqrt{451})
.
Решение. 1) Обозначим \angle ADC=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},~\tg\alpha=\frac{3}{2},~
\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{3}{1-\frac{9}{4}}=-\frac{12}{5}.
Пусть O
— центр окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle AOD=2\angle ADC=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника AOD
находим, что
AD=2OD\sin\frac{1}{2}\angle AOD=2OD\sin\alpha=2\cdot\frac{13}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\sqrt{39}.
Следовательно,
AF=AD\sin\alpha=\sqrt{39}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=3\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника BOD
находим, что
BD=OD\tg\angle BOD=OD\tg(180^{\circ}-2\alpha)=-OD\tg2\alpha=-\frac{13}{2\sqrt{3}}\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)=\frac{26\sqrt{3}}{5}.
2) Из прямоугольных треугольников AFC
и ADF
находим, что
CF=\sqrt{AC^{2}-AF^{2}}=\sqrt{BD^{2}-AF^{2}}=\sqrt{\left(\frac{26\sqrt{3}}{5}\right)^{2}-(3\sqrt{3})^{2}}=
=\frac{\sqrt{(26\sqrt{3})^{2}-(15\cdot\sqrt{3})^{2}}}{5}=\frac{\sqrt{3(26-15)(26+15)}}{5}=
=\frac{\sqrt{3\cdot11\cdot41}}{5}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{451}}{5}.
DF=\sqrt{AD^{2}-AF^{2}}=\sqrt{(\sqrt{39})^{2}-(3\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{3}.
Тогда
BC=CF+DF+BD=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{451}}{5}+2\sqrt{3}+\frac{26\sqrt{3}}{5}=\frac{\sqrt{3}}{5}(36+\sqrt{451}).
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AF=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{5}(36+\sqrt{451})\cdot3\sqrt{3}=\frac{9}{10}(36+\sqrt{451}).