5577. В треугольнике ABC
окружность радиуса \frac{13}{2}
с центром на отрезке AC
проходит через точку C
и касается отрезка AB
в точке D
такой, что угол BDC
равен \arccos\frac{2}{\sqrt{13}}
. Найдите:
1) высоту CF
треугольника ABC
и длину отрезка AD
;
2) площадь треугольника ABC
, если AD=BC
.
Ответ. 9
, \frac{78}{5}
, \frac{27}{10}(36+\sqrt{451})
.
Решение. 1) Обозначим \angle BDC=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},~\tg\alpha=\frac{3}{2},
\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{3}{1-\frac{9}{4}}=-\frac{12}{5}.
Пусть O
— центр окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle COD=2\angle BDC=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника COD
находим, что
CD=2OD\sin\frac{1}{2}\angle COD=2OD\sin\alpha=2\cdot\frac{13}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=3\sqrt{13}.
Следовательно,
CF=CD\sin\alpha=3\sqrt{13}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=9.
Из прямоугольного треугольника AOD
находим, что
AD=OD\tg\angle AOD=OD\tg(180^{\circ}-2\alpha)=-OD\tg2\alpha=-\frac{13}{2}\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)=\frac{78}{5}.
2) Из прямоугольных треугольников BFC
и DFC
находим, что
BF=\sqrt{BC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{AD^{2}-CF^{2}}=\sqrt{\left(\frac{78}{5}\right)^{2}-9^{2}}=
=\frac{\sqrt{78^{2}-45^{2}}}{5}=\frac{\sqrt{(78-45)(78+45)}}{5}=
=\frac{\sqrt{9\cdot11\cdot41}}{5}=\frac{3}{5}\sqrt{451}.
DF=\sqrt{CD^{2}-CF^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{13})^{2}-9^{2}}=6.
Тогда
AB=BF+DF+AD=\frac{3}{5}\sqrt{451}+6+\frac{78}{5}=\frac{\sqrt{3}}{5}(36+\sqrt{451}).
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CF=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}(36+\sqrt{451})\cdot9=\frac{27}{10}(36+\sqrt{451}).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2011, билет 7
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.243, с. 100
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2011, выезд, билет Ф, задача 4