5583. В трапеции ABCD
основания BC
и AD
равны a
и b
соответственно, а угол BCD
равен \alpha
. Окружность, проходящая через точки B
, C
и D
, касается прямой AB
. Найдите радиус этой окружности.
Ответ. \frac{\sqrt{ab}}{2\sin\alpha}
.
Указание. Треугольники ABD
и DCB
подобны.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle ABD=\angle BCD=\alpha
. Кроме того, \angle ADB=\angle CBD
как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD
, BC
и секущей BD
, значит, треугольник ABD
подобен треугольнику DCB
по двум углам. Тогда \frac{BD}{BC}=\frac{BD}{AD}
, поэтому BD^{2}=AD\cdot BC=ab
. Следовательно, BD=\sqrt{ab}
.
Пусть R
— радиус окружности, о которой говорится в условии задачи. По теореме синусов
R=\frac{BD}{2\sin\angle BCD}=\frac{\sqrt{ab}}{2\sin\alpha}.