5584. В трапеции ABCD
основание BC
равно b
, угол ABD
равен \alpha
. Окружность диаметра d
, проходящая через точки B
, C
и D
, касается прямой AB
. Найдите основание AD
трапеции.
Ответ. \frac{d^{2}\sin^{2}\alpha}{b}
.
Указание. Треугольники ABD
и DCB
подобны.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BCD=\angle ABD=\alpha
. По теореме синусов
BD=d\sin\angle BCD=d\sin\alpha.
Накрест лежащие углы ADB
и CBD
при параллельных прямых AD
, BC
и секущей BD
равны, значит, треугольник ABD
подобен треугольнику DCB
по двум углам. Тогда \frac{BD}{BC}=\frac{BD}{AD}
, следовательно,
AD=\frac{BD^{2}}{BC}=\frac{d^{2}\sin^{2}\alpha}{b}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2008, билет 14
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.214, с. 97