5589. Площадь параллелограмма ABCD
равна 4. Окружность с центром в точке O
, расположенной на отрезке AD
, касается отрезков AB
, BC
и прямой CD
в точках M
, N
и K
соответственно. Найдите радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD
, если \frac{CK}{BM}=3
.
Ответ. \sqrt[{4}]{{3}}
, \frac{2}{\sqrt[{4}]{{3}}}
, \frac{4}{\sqrt[{4}]{{3}}}
.
Указание. Острый угол параллелограмма ABCD
равен 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим BN=BM=a
, r
— радиус окружности. Точка O
лежит на отрезке MK
, так как AB\parallel CD
, OM\perp AB
и OK\perp CD
. По условию задачи CK=3BM=3a
, поэтому
CN=CK=3a,~BC=BN+CN=a+3a=4a.
Пусть H
— проекция вершины B
на прямую CD
. Тогда
CH=CK-KH=CK-BM=3a-a=2a,~BD=MK=2r.
В прямоугольном треугольнике BHC
катет CH
вдвое меньше гипотенузы BC
, поэтому
\angle BAD=\angle BCD=60^{\circ},~2r=MK=BH=CH\sqrt{3}=2a\sqrt{3},~a=\frac{r}{\sqrt{3}}.
По условию задачи AD\cdot ON=4
, или
4a\cdot r=4,~ar=1,~\frac{r}{\sqrt{3}}\cdot r=1,~r^{2}=\sqrt{3}.
Отсюда находим, что r=\sqrt[{4}]{{3}}
.
Пусть P
— проекция вершины B
на сторону AD
. Тогда BP=ON=r=\sqrt[{4}]{{3}}
. Следовательно,
CD=AB=\frac{BP}{\sin60^{\circ}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt[{4}]{{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt[{4}]{{3}}}.
Наконец,
AD=BC=\frac{BH}{\sin60^{\circ}}=\frac{KM}{\sin60^{\circ}}=\frac{2r}{\sin60^{\circ}}=\frac{4}{\sqrt[{4}]{{3}}}.