5590. Площадь параллелограмма ABCD
равна 6. Окружность с центром в точке O
, расположенной на отрезке AD
, касается отрезков AB
, BC
и прямой CD
в точках M
, N
и K
соответственно. Найдите радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD
, если \frac{CK}{BM}=5
.
Ответ. \sqrt[{4}]{{5}}
, \frac{3}{\sqrt[{4}]{{5}}}
, \frac{6}{\sqrt[{4}]{{5}}}
.
Указание. CN=CK=5BM=5BN
.
Решение. Обозначим BN=BM=a
, r
— радиус окружности. Точка O
лежит на отрезке MK
, так как AB\parallel CD
, OM\perp AB
и OK\perp CD
. По условию задачи CK=5BM=5a
, поэтому
CN=CK=5a,~BC=BN+CN=a+5a=6a.
Пусть H
— проекция вершины B
на прямую CD
. Тогда
CH=CK-KH=CK-BM=5a-a=4a,~BD=MK=2r.
Из прямоугольного треугольника BHC
находим, что
\cos\angle BCH=\frac{CH}{BC}=\frac{4a}{6a}=\frac{2}{3},~\sin\angle BCH=\frac{\sqrt{5}}{3},
2r=MK=BD=BC\sin\angle BCH=6a\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=2a\sqrt{5},
значит, a=\frac{r}{\sqrt{5}}
.
По условию задачи AD\cdot ON=6
, или
6a\cdot r=6,~ar=1,~\frac{r}{\sqrt{5}}\cdot r=1,~r^{2}=\sqrt{5}.
Отсюда находим, что r=\sqrt[{4}]{{5}}
. Тогда
AD=BC=6a=\frac{6}{r}=\frac{6}{\sqrt[{4}]{{5}}}.
Пусть P
— проекция вершины B
на сторону AD
. Тогда BP=ON=r=\sqrt[{4}]{{5}}
, а так как \angle BAP=\angle BCH
, то
CD=AB=\frac{BP}{\sin\angle BAP}=\frac{r}{\sin\angle BCD}=\frac{\sqrt[{4}]{{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{3}{\sqrt[{4}]{{5}}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2008, билет 2
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.202, с. 96